关于计量经济学里的对数问题

Primummovens

告诉你为什么数据要取对数 - 计量经济学与统计软件 - 经管之家(原人大经济论坛) (pinggu.org)

关于PV=P*V，为什么能取对数转换成ln PV = ln P + ln V

平时在一些数据处理中，经常会把原始数据取对数后进一步处理。之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是单调增函数，取对数后不会改变数据的相对关系，取对数作用主要有：

1. 缩小数据的绝对数值，方便计算。例如，每个数据项的值都很大，许多这样的值进行计算可能对超过常用数据类型的取值范围，这时取对数，就把数值缩小了。

2. 取对数后，可以将乘法计算转换称加法计算。

3. 某些情况下，在数据的整个值域中的在不同区间的差异带来的影响不同。

从log函数的图像可以看到，自变量x的值越小，函数值y的变化越快，

列如在500和200，800和500，虽然他们之间都只相差300,

但log500-log200>log800-log500，因为前面一对的比后面一对更小。

也就是说，对数值小的部分差异的敏感程度比数值大的部分的差异敏感程度更高。这也是符合生活常识的，例如对于价格，买个家电，如果价格相差几百元能够很大程度影响你决策，但是你买汽车时相差几百元你会忽略不计了。

4. 取对数之后不会改变数据的性质和相关关系（也就是不改变其是+还是-，不改变其是x^2还是x^3的趋势），但压缩了变量的尺度，例如800/200=4, 但log800/log200=1.2616，数据更加平稳，也消弱了模型的共线性、异方差性等。

https://www.desmos.com/calculator?lang=zh-CN

试着填入 x^2，对比其 ln x^2，填入 x^3，对比其 ln x^3，还有（800/200）x和（log 800/log 200)x 会发现，虽然很抽象，但是相关关系是一样的，都是该加加，该减减，不改变其正相关，负相关，还是不相关的相关关系。

5. 所得到的数据易消除异方差问题。

6. 在经济学中，常取自然对数再做回归，这时回归方程为 lnY=a lnX+b ，两边同时对X求导，1/Y*(DY/DX)=a*1/X, b=(DY/DX)*(X/Y)=(DY*X)/(DX*Y)=(DY/Y)/(DX/X) 这正好是弹性的定义。

当然，如果数据集中有负数当然就不能取对数了。实践中，取对数的一般是水平量，而不是比例数据，例如变化率等。

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再细节和具体的的可以读读伍德里奇的《计量经济学》从开始到第二章2.4，我读了几个小时读得头疼，估计还要多花点时间。

远航一号

咱们这里毕竟不是数学论坛。以后建议纯数学问题不要发主贴。

远航一号

你的问题是：为什么 ln (X * Y) = lnX + lnY

按照自然对数的定义，如果 lnX = a, 则如果 lnX = a, 则 e^a = X  = X (e 的 a 次方等于X， e 是自然常数）
如果 lnY = b, 则 e^b = Y

那么 X*Y = (e^a) * (e^b) = e ^ (a+b)

所以 a+b 是 X*Y 的对数

即 ln(XY) = a + b = lnX +lnY

Primummovens

远航一号 发表于 2023-7-11 13:27
你的问题是：为什么 ln (X * Y) = lnX + lnY

按照自然对数的定义，如果 lnX = a, 则如果 lnX = a, 则 e^a  ...

我的问题主要不是为什么 ln（X*Y）= ln X + ln Y，这个通过简单的代入数字计算就可以理解。

而是为什么我们可以对于数据，也就是计量经济学的数据为什么可以取对数。
取对数为何不会对计量经济学的结论产生影响。
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要直接说，名义GDP增长率 = 经济增长率 + 通货膨胀率
我能理解，但是通过货币恒等式，取出对数后，得出名义GDP增长率 ≈ 经济增长率 + 通货膨胀率，
这里为什么能取对数和约等号的原因，我反而理解不能。

主要表明得应该是这一点

取对数之后不会改变数据的性质和相关关系

（具体的运算过程我没算懂）

PS：好吧，我自己代入实际的数据计算了一下PV公式，发现取对数并不会对推论产生影响，是我自个在错误的道路上越走越远了。
是我自个傻不拉几的，和那个何田昊泽一样，将ln(PV)=ln(P) + ln（V）视为PV≈P+V（之前代入数字，也直接代入的是PV≈P+V）。在错误的命题上，满脑子想不出这里的原因在哪。
约等分应该是这里的问题：

或者应该是求导极限那的问题。

报与桃花一处开

对数的性质挺好用的。

蔡德仁

关于为什么计量经济学喜欢用对数：计量经济学中大量的模型都喜欢一个假设：【总增长率等于各要素增长率按各自固定系数的线性加和】。


例如，某个生产过程，产量Q，固定资本K，劳动量L，那么这种假设认为（在其他因素不影响生产率的情况下）
dQ/Q=a*dK/K+b*dL/L。
（计量经济学经常把取增长率算符dX/X简写作符号ΔX，所以也可以说是ΔQ=aΔK+bΔL）
这里，a是资本增长率对产量增长率的贡献，b是劳动增长率对产量增长率的贡献。都是常数。
假如固定资本增长率和劳动增长率一样均匀增长，那么符合常识的结果应该是这时产出也按照同样的增长率增长。（简单规模扩张）也就是a+b=1。
dQ/Q=a*dK/K+(1-a)*dL/L。直接用这个式子不加任何修正的，“主流”经济学称为索洛模型。
至于为什么一定是dQ/Q=a*dK/K+b*dL/L，不是别的数学关系，这在总体上其实不是很符合事实。（也就是说，现实中，不同要素不同速增长时产出和要素的度量完全可能是其他关系，而不是接近增长率线性叠加的关系。）

而在形如“总增长率等于各要素增长率按各自固定系数的线性加和”的关系里面，对数就是和它等价的数学表达。
dQ/Q=a*dK/K+b*dL/L
两边积分，得到
ln (Q/Q0)=a ln (K/K0)+b ln (L/L0)
这里Q0，K0，L0是任意一组QKL的实际值（你可以理解为初值）。如果不理解式子，可能需要复习一下微积分。

所以，可以看到，这种对数表达实质上就是假设了【总增长率等于各要素增长率按各自固定系数的线性加和】。或者说，【不同要素增长率可以按固定比例互相替换而不改变总增长率。】

我们已经说了，这个数学关系往往不符合事实。那么为什么它还常用呢？除了推导方便，更重要的是它【在增长率变化不大时】总可以做近似，也就是用一阶的微分去近似增长。只要研究的状态中变量（各个增长率）取值相比初始状态变化很小，这种近似一般误差不大。

例如说，两个条件差不多的工厂，A厂年固定资本增长率3.9%劳动增长率5.0%，B厂年固定资本增长率4.0%劳动增长率4.8%，但他们的总产出增长率是一样的。假如我们真的排除了其它因素的影响，按这个理论可以假设0.1%的固定资本增长等于0.2%的劳动增长。这样假如有个C厂年固定资本增长率3.7%，我们可以认为它要5.4%的年劳动增长才能保持和AB厂一样的总产出增长率。

但如果这个C厂是1.5%的年固定资本增长率，那这个已经偏离初始状态太远了，就很难认为这个估计还能有效。在这种情况下，对数（增长率线性分解）模型是不好用的。

蔡德仁

不少社科研究滥用增长率线性分解的模型，明明研究的不同状态之间数值差很大，但很多研究还是没有做足够的线性性检验（检验增长率线性分解是不是真的接近实际统计），反而喜欢把线性增长率分解出来的增长率和实际值在不同状态附近的余量（“误差”）不加检验地用一个新变量去解释（比如内生性之类的），有时候这会对理论做出假解释，这在实际研究中需要经常注意。

单纯因为对数方便数学推导就随意取对数而不管实际统计就本末倒置了。

蔡德仁

总之一句话，取对数就是认为“总增长率等于各要素增长率按各自固定系数的线性加和。”或者说，“不同要素增长率可以按固定比例互相替换而保持总增长率。”的意思。

至于数学式子问题，应该去数学网站查微积分。

Primummovens

蔡德仁 发表于 2023-7-12 01:19
关于为什么计量经济学喜欢用对数：计量经济学中大量的模型都喜欢一个假设：【总增长率等于各要素增长率按各 ...

十分感谢长篇和细致的解答！！！

Hudaye

看懵逼了，有个问题，学马克思经济学，是不是必须学好线性代数？